方向微分（翻訳記事）
この記事は何？
- 方向微分についてのKhan Academyの記事を翻訳したものです。
- 原文は https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/directional-derivatives-going-deeper を参照ください。
- この記事は、Khan Academyの利用規約に従っています。
翻訳
はてなだとTexがかけないっぽいので、画像にしてます。 別タブで画像を開いていただくと文字が読みやすくなるかもしれません。
補足など
- 数学素人が自分用にまとめました。間違っていたら教えてください。
- Khan Academyの記事がとてもわかりやすかったので、感動のあまり翻訳してみました。
検索用の文字
方向微分の正しい定義
正しい定義を気にする理由がいくつかあります。一つは、新しいコンセプトの正式な定義を本当に理解することで、そのコンセプトは実際に何なのか明らかになることです。
しかし、より重要な、最大の利点は、コンセプトの定義を理解することは、そのコンセプトが使えるか使えないか判断する自信がつくことです。
ウォーミングアップとして、xに関する偏導関数の定義を確認してみましょう。
| 記号 | 平易な言葉で書いた理解(informal understanding) | 改まった言葉で書いた理解(formal understanding) |
| -------------- | ------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------- |
| $$\partial x$$ | $$x$$ 方向の僅かな変化 | $$\partial x$$とは、以下２つを行う変数 $$h$$のこと。
- $$h$$ は 0 に限りなく近づく。
- $$h$$ は関数の１つめの入力に足される。 |
| $$\partial f$$ | $$\partial x$$ 動かした後の、 関数 $$f$$の出力の変化 | $$\partial f$$とは、 $$h$$ を限りなく0に近づけるときの$$f(x_0+h,y_0)$$ と$$f(x_0,y_0)$$ の差。 |
偏導関数の定義は、ベクトル表記法で書くこともできます。
まず入力を ベクトル $$(x_0, y_0)$$ とみます。
$$\bold x_0$$は ベクトルであることを強調するため、太字で書かれています。
入力全体を、（太字の）文字 $$\bold x$$で表すことは、少しわかりづらい書き方です。
なぜなら、文字 $$x$$ は、入力の１つめの成分を表すのに、太字でない形で既に使用済みだからです。
しかし、これはこの書き方は慣習となっているので、慣習に従いました。
僅かな入力の変化を、$$(x_0+h,y_0)$$ と表記する代わりに $$\textbf{x}_0 + h \hat{\textbf{i}}$$ と表記します。
なお、$$\hat i$$ は $$x$$ 軸方向の単位ベクトルです。
この表記法では、$$x$$ に関する偏導関数を $$\vec v$$ に関する方向微分へと一般化する方法を理解するのは、ずっと簡単になります。
$$\vec v$$ 方向へ僅かに変化させるという概念を数式にしたものが、$$h \vec v$$ を関数$$f$$の入力に足すことだといえます。
